Na física, é através de gráficos e curvas que podemos
ter uma noção visual de fenômenos e seus comportamentos.
Veremos mais sobre isso nesse resumo de nível médio.
Definição
Um gráfico no plano cartesiano é uma ilustração que permite visualizarmos o
comportamento de
equações e funções.
Figura 1. Gráfico de uma certa função $v(t)$.
O eixo vertical representa $v$, o eixo horizontal representa $t$
e a curva em azul mostra o comportamento da função $v(t)$.
A presença da grade de fundo (em cinza) é para facilitar a visualização.
A Figura 1 é um exemplo de gráfico que relaciona a velocidade $v$ de um certo objeto com o tempo $t$ decorrido.
Plano cartesiano
Ao fixarmos dois eixos perpendiculares,
$x$ e $y$, por exemplo,
qualquer ponto no plano formado por tais eixos pode ser representado
por um par de valores.
Esse par de valores é chamado de par ordenado ou coordenadas,
o plano definido pelos eixos é conhecido como plano cartesiano e
o sistema de representação através de coordenadas no plano cartesiano é chamado de sistema de coordenadas cartesianas.
Figura 2. Exemplo de um gráfico $x \times y$ com destaque a um ponto $\mathrm{P}$
definido, de acordo com o sistema de coordenadas cartesianas, pelo par ordenado $(4,3)$ ou, analogamente,
pelas coordenadas $x=4$ e $y=3$.
A origem do gráfico, onde os zeros dos eixos se encontram, está representada por $0$.
As linhas tracejadas (em preto) foram traçadas para facilitar a localização das coordenadas.
Na Figura 2, no sistema de coordenadas cartesianas,
o ponto $\mathrm{P}$ da curva está definido pelo par ordenado $(4,3)$,
onde $4$ corresponde ao eixo $x$ e $3$ ao eixo $y$.
Analogamente, podemos dizer que $\mathrm{P}$ possui coordenadas $x=4$ e $y=3$,
de forma que, para $x=4$, temos $y=3$, isto é,
$y(4)=3$.
Ainda, o plano cartesiano formado pelos eixos é comumente chamado de plano $x \times y$,
ou simplesmente de plano $xy$,
e o ponto $(0,0)$ onde os eixos se encontram é referido como origem.
Inclinação da curva
Em um gráfico qualquer, a inclinação da
curva na região de um determinado ponto nos informa a variação (velocidade de crescimento ou decrescimento)
da curva. Regiões com inclinações mais acentuadas possuem maior variação.
Figura 3. Gráfico no plano $x \times y$ de uma função (em azul) com destaque a inclinações crescentes no entorno de dois pontos.
A região ao redor do ponto $\mathrm{P}$ (vermelho) possui inclinação crescente menos acentuada
que a região ao redor do ponto $\mathrm{Q}$ (verde).
Na Figura 3 temos uma curva num plano $x \times y$ com destaque a dois pontos distintos, $\mathrm{P}$ e $\mathrm{Q}$.
Para cada ponto foi traçada uma pequena reta (em preto) que tangencia a curva — encosta na curva.
Tal tipo de reta, chamada de reta tangente, nos indica a inclinação da curva na região de um ponto.
Podemos ver, ainda na Figura 3, que as duas retas tangentes são crescentes,
pois estão inclinadas para cima.
A reta tangente em $\mathrm{P}$ é menos íngreme — menos inclinada —
que a reta tangente em $\mathrm{Q}$. É possível dizer, então,
que $y$ cresce mais devagar ao redor de $\mathrm{P}$ do que ao redor de $\mathrm{Q}$.
Figura 4. Gráfico no plano $x \times y$ de uma função (em azul) com destaque a inclinações decrescentes no entorno de dois pontos.
A região ao redor do ponto $\mathrm{P}^\prime$ (vermelho) possui inclinação decrescente menos acentuada
que a região em volta do ponto $\mathrm{Q}^\prime$ (verde).
Em contrapartida, na Figura 4 temos uma outra curva num plano $x \times y$ com destaque
a dois pontos, $\mathrm{P}^\prime$ e $\mathrm{Q}^\prime$,
cujas retas tangentes são decrescentes, pois estão inclinadas para baixo.
É possível dizer, então,
que $y$ decresce mais devagar ao redor de $\mathrm{P}^\prime$ do que ao redor de $\mathrm{Q}^\prime$.
De forma geral, a inclinação de uma reta está relacionada com a divisão do eixo vertical pelo horizontal.
Figura 5. Reta tangente (em preto) à curva (em azul) de uma função num determinado ponto (em vermelho).
O comprimento $\Delta y$ é o cateto oposto e o $\Delta x$ é o cateto adjacente ao ângulo de inclinação $\alpha$.
Considere uma reta tangente a uma curva qualquer num plano $x \times y$, como a da Figura 5.
O ângulo de inclinação $\alpha$ da reta tangente pode ser diretamente calculado através de
razões trigonométricas:
\begin{equation}
\begin{split}
\tan{\alpha} &= \frac{\Delta y}{\Delta x} \\
&= \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} \vg
\end{split}
\end{equation}
onde $\Delta y$ é o cateto oposto e $\Delta x$ é o cateto adjacente ao ângulo $\alpha$;
em outras palavras, $\tan{\alpha} \propto y/x$.
Na região onde se calculou o ângulo, a curva será crescente se $\alpha \gt 0$;
decrescente se $\alpha \lt 0$; e sem inclinação se $\alpha = 0$.
Área sob a curva
A área abaixo de uma curva nos dá informações acerca do produto entre os eixos do plano cartesiano.
Figura 6. Área $A$ (em verde) sob um segmento de reta (em preto) num plano $x \times y$.
Uma região $A$ formada sob um segmento de reta e delimitada por $\Delta x$ e $\Delta y$, como na Figura 6, é a área de um triângulo,
\begin{equation}
\begin{split}
A &= \frac{\Delta y \Delta x}{2} \\
&= \frac{(y_1-y_0)(x_1-x_0)}{2} \vg
\end{split}
\end{equation}
onde $\Delta x$ é a base e $\Delta y$ é a altura do triângulo.
Tal raciocínio é particularmente interessante uma vez que, para obtermos
o valor do produto $\Delta y \Delta x$, basta analisarmos a área sob o segmento de reta.
Figura 7. Área $A$ (em verde) sob a curva $y=f(x)$ (em azul) num plano $x \times y$.
De forma mais geral, como na Figura 7, a área $A$ sob uma curva $y=f(x)$ está relacionada com o produto entre os eixos.
Exemplos de curvas
Algumas funções possuem curvas bem conhecidas.
Nos tópicos a seguir veremos alguns comportamentos interessantes.
Funções constantes
Uma função constante
não depende da variável e, por isso, sua curva é caracterizada por uma reta horizontal.
Figura 8. Gráfico de uma função constante $y(x)=c$ num plano $x \times y$.
A curva em azul representa o comportamento da função, ela
se estende indefinidamente para ambos os lados e cruza o eixo vertical em $y=c$.
Na Figura 8 podemos observar o comportamento de uma função constante $f(x)=c$ num plano $x \times y$.
Por se tratar de uma reta horizontal, a área abaixo da curva, até o eixo $x$, é a área de um retângulo
e a tangente em qualquer ponto da curva é a própria curva. Tal curva cruza o eixo $y$ no valor do coeficiente linear da função constante, $c$.
Funções afins
O gráfico de uma função afim
é composto por uma reta inclinada para cima (crescente) ou para baixo (decrescente).
Figura 9. Gráfico de uma função afim crescente $y(x)=bx+c$ num plano $x \times y$.
A curva em azul, que se estende indefinidamente para ambos os lados,
cruza o eixo vertical em $y=c$ e o horizontal em $x=-c/b$.
Na Figura 9 podemos ver o comportamento de uma função afim crescente $f(x)=bx+c$ num plano $x \times y$.
O coeficiente angular $b$ de uma função afim é sempre proporcional à tangente do ângulo $\alpha$ de inclinação,
\begin{equation}
b = \tan{\alpha} \pt
\end{equation}
Se o ângulo de inclinação for positivo, $\alpha \gt 0$, o coeficiente angular também
será positivo, $b \gt 0$, e a reta será crescente; caso contrário,
se $\alpha \lt 0$, $b \lt 0$ e a reta será decrescente.
Observe que, por ser uma reta, a tangente em qualquer ponto da curva é a própria curva.
A curva de uma função afim cruza o eixo horizontal em $x=-c/b$.
Já o valor em que a curva cruza o eixo $y$ será sempre igual ao coeficiente linear, $c$;
caso $c=0$, a curva cruza a origem dos eixos e o resultado é um gráfico de
uma função linear
ou de grandezas diretamente proporcionais.
Funções quadráticas
Uma função quadrática
possui curva de formato parecido com a letra U.
Figura 10. Gráfico de uma função quadrática $f(x)=ax^2+bx+c$ com concavidade para cima num plano $x \times y$.
A curva do gráfico (em azul) cruza o eixo horizontal nas raízes da função, $x=x_1$ e $x=x_2$,
cruza o eixo vertical em $y=c$, e possui um valor mínimo $y_\text{mín}$ em $x=\frac{-b}{2a}$.
Na Figura 10 temos a ilustração do comportamento de uma função quadrática $f(x)=ax^2+bx+c$ com concavidade para cima num plano $x \times y$.
Em funções quadráticas, a concavidade será voltada para cima se o coeficiente parabólico for positivo, $a \gt 0$;
nos casos em que $a \lt 0$, a concavidade será voltada para baixo, como na Figura 11.
Figura 11. Gráfico de uma função quadrática $f(x)=ax^2+bx+c$ com concavidade para baixo num plano $x \times y$.
A curva do gráfico (em azul) cruza o eixo horizontal nas raízes da função, $x=x_1$ e $x=x_2$,
cruza o eixo vertical em $y=c$, e possui um valor máximo $y_\text{máx}$ em $x=\frac{-b}{2a}$.
Em ambos os casos de concavidade, a curva cruza o eixo horizontal nas
raízes — nos zeros — das funções,
$x=x_1$ e $x=x_2$,
cruza o eixo vertical em $y=c$
e possui ou um valor de máximo ou um valor de mínimo em $x=\frac{-b}{2a}$.
Palavras finais
Com toda a certeza não conseguimos estudar aqui todos os casos possíveis, mas
o conteúdo apresentado é o suficiente para darmos prosseguimento.
Você pode fixar o que foi visto nesse resumo resolvendo alguns
exercícios que envolvem interpretação gráfica.
Bons estudos!
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