Fuvest 2017 - 1ª Fase - Questão resolvida #03

(Fuvest 2017) Objetos em queda sofrem os efeitos da resistência do ar, a qual exerce uma força que se opõe ao movimento desses objetos, de tal modo que, após um certo tempo, eles passam a se mover com velocidade constante. Para uma partícula de poeira no ar, caindo verticalmente, essa força pode ser aproximada por $\vec{F}_\textrm{a}=-b\vec{v}$, sendo $\vec{v}$ a velocidade da partícula de poeira e $b$ uma constante positiva. O gráfico mostra o comportamento do módulo da força resultante sobre a partícula, $\vec{F}_\textrm{R}$, como função de $v$, o módulo de $\vec{v}$.

O valor da constante $b$, em unidades de N·s/m, é

a) 1,0 × 10^-14 b) 1,5 × 10^-14 c) 3,0 × 10^-14 d) 1,0 × 10^-10 e) 3,0 × 10^-10

Note e adote:
O ar está em repouso.

A questão nos diz que uma partícula em queda não está sujeita apenas à ação da gravidade (força $\vec{P}$), pois, devido à resistência do ar, a força $\vec{F}_\textrm{a}=-b\vec{v}$ também atuará sobre ela.

A força resultante $\vec{F}_\textrm{R}$ que a partícula experimenta é

\begin{equation} \begin{split} \vec{F}_\textrm{R} &= \vec{P}+\vec{F}_\textrm{a} \\ &= \vec{P}-b\vec{v} \text{.} \end{split} \end{equation}

Em módulo, temos a seguinte equação a ser resolvida:

\begin{equation} \label{eq:2} F_\textrm{R} = P-bv \text{,} \end{equation}

onde eu adotei o sentido para baixo como sendo positivo.

Devemos substituir os valores do gráfico na equação acima para encontrarmos o valor da constante $b$. De um lado, observe que $F_\text{R} = 3 \cdot 10^{-14} \ \text{N}$ quando $v=0 \ \text{m/s}$. Assim, da Equação $\eqref{eq:2}$:

\begin{equation} 3 \cdot {10}^{-14} = P-b \cdot 0 \text{,} \end{equation}

ou seja,

\begin{equation} \label{eq:4} P = 3 \times {10}^{-14} \textrm{ N} \text{.} \end{equation}

Por outro lado, observe que $ F_\text{R} = 0 \ \text{N} $ quando $ v=1 \cdot 10^{-4} \ \text{m/s} $. Vamos substituí-los também na equação $\eqref{eq:2}$ e utilizar o valor de $P$ obtido na Equação $\eqref{eq:4}$:

\begin{equation} 0 = P-b \cdot 1 \cdot {10}^{-4} \text{,} \end{equation}

ou seja,

\begin{equation} \begin{split} b &= \frac{P}{1 \cdot {10}^{-4}} \\ &= \frac{ 3 \cdot {10}^{-14} }{ 1 \cdot {10}^{-4}} \\ &= 3,0 \times {10}^{-10} \textrm{ N·s/m} \text{.} \end{split} \end{equation}

Resposta: e.

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