Fuvest 2017 - 1ª Fase - Questão resolvida #04

(Fuvest 2017) Helena, cuja massa é 50 kg, pratica o esporte radical bungee jumping. Em um treino, ela se solta da beirada de um viaduto, com velocidade inicial nula, presa a uma faixa elástica de comprimento natural $L_0 = 15 \ \text{m}$ e constante elástica $k = 250 \ \text{N/m}$. Quando a faixa está esticada 10 m além de seu comprimento natural, o módulo da velocidade de Helena é

a) 0 m/s b) 5 m/s c) 10 m/s d) 15 m/s e) 20 m/s

Note e adote:
Aceleração da gravidade: 10 m/s².
A faixa é perfeitamente elástica; sua massa e efeitos dissipativos devem ser ignorados.

A energia total do sistema deve se conservar, ou seja, a energia total no momento inicial $E_{\textrm{T}_\textrm{i}}$ deve ser igual à energia total no instante final $E_{\textrm{T}_\textrm{f}}$.

\begin{equation} \label{eq:1} E_{\text{T}_\text{i}} = E_{\text{T}_\text{f}} \end{equation}

No instante inicial o sistema possui apenas energia potencial gravitacional. Não possui energia cinética, pois a velocidade inicial de Helena é nula ($v_\text{i} =0 $); nem energia potencial elástica, pois a faixa está em seu comprimento natural (não está esticada, $x_\text{i}=0$). Então, se $m$ for a massa da Helena, $g$ a aceleração da gravidade e $h_\text{i}$ a aultura do viaduto,

\begin{equation} \begin{split} \label{eq:2} \require{cancel} E_{\text{T}_\text{i}} &= \underbrace{mgh_\text{i}}_{\text{p. grav.}} + \underbrace{\cancel{\frac{\mathstrut mv_{\textrm{i}}^2}{2}}^0}_{\textrm{cinética}} + \underbrace{\cancel{\frac{\mathstrut kx_{\textrm{i}}^2}{2}}^0}_{\textrm{p. elástica}} \\ &= mgh_\textrm{i} \end{split} \end{equation}

Já no instante final, o sistema possui as energias cinética e potencial elástica. Não possui energia potencial gravitacional pois Helena atingiu a altura $h_\text{f}$, como definido na Figura 1.

Figura 1. Esquema físico do deslocamento de um bungee jumping.

Seja $v_\text{f}$ a velocidade final atingida pela Helena e $x_\text{f}$ seu deslocamento final, então

\begin{equation} \begin{split} \label{eq:3} \require{cancel} E_{\textrm{T}_\textrm{f}} &= \underbrace{\cancel{mgh_\textrm{f}}^0}_{\textrm{p. grav.}} + \underbrace{\frac{\mathstrut mv_{\textrm{f}}^2}{2}}_{\textrm{cinética}} + \underbrace{\frac{\mathstrut kx_{\textrm{f}}^2}{2}}_{\textrm{p. elástica}} \\ &= \frac{\mathstrut mv_{\textrm{f}}^2}{2} + \frac{\mathstrut kx_{\textrm{f}}^2}{2} \text{.} \end{split} \end{equation}

Assim, utilizando os resultados das Equações (2) e (3), o balanço de energia do sistema, expresso na Equação \eqref{eq:1}, fica na seguinte forma:

\begin{equation} \label{eq:4} mgh_\text{i} = \frac{\mathstrut mv_\text{f}^2}{2} + \frac{\mathstrut kx_\text{f}^2}{2} \end{equation}

Partindo da Equação \eqref{eq:4}, depois de um pouco de ginástica (álgebra), $v_\text{f}$ pode ser isolado:

\begin{equation} v_\text{f} = \sqrt{\mathstrut 2gh_\text{i}-\frac{\mathstrut kx_\text{f}^2}{m} } \end{equation}

Resta-nos, agora, substituir os valores de $g$, $m$, $k$, $x_\text{f}$ e $h_\text{i}$.

\begin{equation} \begin{split} v_\textrm{f} &= \sqrt{\mathstrut 2 {\cdot} 10 {\cdot} (15+10) - \frac{\mathstrut 250 {\cdot} (10)^2}{50} } \\ &= \sqrt{\mathstrut 500 - 500} \\ &= 0 \end{split} \end{equation}

Este resultado é particularmente interessante pois, qualitativamente, podemos concluir que o bungee jumping atingiu seu ponto de retorno uma vez que a velocidade de Helena tornou-se nula. Em outras palavras, Helena colidirá com o chão se a altura do viaduto for menor do que 25 m.

Resposta: a.

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