Regra de três (resumo nível médio)

Fonte: imagem criada no Canva.

Neste resumo estudaremos o que talvez seja o método mais importante da sua vida: a regra de três!

Utilização

A regra de três é utilizada sempre que, dado três valores, desejamos descobrir uma incógnita. Por exemplo, sabemos que uma lata de refrigerante possui $0{,}35$ litro; juntas, doze latas resultam em quantos litros?

Regra de três direta

Utilizaremos a regra de três direta sempre que estivermos lidando com grandezas diretamente proporcionais. Para calcular a regra de três direta, devemos separar os dados em colunas e utilizar setas para ajudar a indicar a proporcionalidade. No caso dos refrigerantes:

\begin{matrix} \uparrow \txt{quantidade} \ (\txt{lata}) & \uparrow \txt{volume} \ (\txt{litro}) \pt \end{matrix}

Agora preenchemos a linha de baixo com os valores conhecidos: "$1$ lata de refrigerante possui $0{,}35$ litro".

\begin{matrix} \uparrow \txt{quantidade} \ (\txt{lata}) & \uparrow \txt{volume} \ (\txt{litro}) \\ 1 & 0{,}35 \end{matrix}

Seguimos preenchendo mais uma linha com os valores questionados: "$12$ latas resultam em quantos litros?".

\begin{matrix} \uparrow \txt{quantidade} \ (\txt{lata}) & \uparrow \txt{volume} \ (\txt{litro}) \\ 1 & 0{,}35 \\ 12 & x \end{matrix}

O cálculo se dá através da multiplicação em cruz, ou seja, multiplicamos $1$ por $x$ e igualamos à multiplicação de $12$ por $0{,}35$.

\begin{matrix} 1 & \ & 0{,}35 \\ \ & \times & \ \\ 12 & \ & x \end{matrix} \begin{equation*} 1 x = 12 \cdot 0{,}35 \end{equation*}

E, portanto, basta resolvermos a equação acima para concluir que

\begin{equation*} x = 4{,}2\vg \end{equation*}

ou seja, $12$ latas de refrigerante resultam em $4{,}2$ litros.

Exemplo 1

Se $3\%$ da população de uma cidade equivale a $10{.}200$ pessoas, qual a população dessa cidade?

Na porcentagem, $100\%$ equivale ao todo, neste caso, à população total, que é justamente o que vamos descobrir.

\begin{matrix} \uparrow \txt{quantidade} \ (\txt{pessoas}) & \uparrow \txt{valor} \ (\%) \\ 10{.}200 & 3 \\ x & 100 \end{matrix}

Quanto maior a população, maior a porcentagem; então, são diretamente proporcionais. Multiplicando em cruz:

\begin{equation*} 10{.}200 \cdot 100 = 3x \\ 1{.}020{.}000 = 3x \\ x = \frac{1{.}020{.}000}{3} \\ x = 340{.}000\pt \end{equation*}

Portanto, a população dessa cidade é de $340$ mil pessoas.

Regra de três inversa

Utilizaremos a regra de três inversa sempre que nos depararmos com grandezas inversamente proporcionais. Para calcular a regra de três inversa, é feito o mesmo procedimento de separação de dados em colunas, mas a multiplicação é em linha, ou seja, para cada linha, multiplica-se um valor pelo valor do seu vizinho e iguala-se os resultados.

Exemplo 2

Numa construtora, em média, $4$ funcionários conseguem terminar um serviço em $12$ horas. Considerando que haja uma relação de proporcionalidade inversa, em quantas horas $10$ funcionários terminarão o mesmo serviço?

Observe que a ideia de separar em colunas é a mesma que a anterior, a diferença se dá no ato da multiplicação.

\begin{matrix} \uparrow \txt{quantidade} \ (\txt{funcionário}) & \downarrow \txt{tempo} \ (\txt{hora}) \\ 4 & 12 \\ 10 & x \end{matrix}

As informações apresentadas constituem grandezas inversamente proporcionais, por isso, devemos multiplicar em linha.

\begin{matrix} 4 & — & 12 \\ 10 & — & x \end{matrix} \begin{equation*} 4 \cdot 12 = 10 x \end{equation*}

Com isso,

\begin{equation*} x = 4{,}8 \pt \end{equation*}

Portanto, $10$ funcionários terminarão o mesmo serviço em $4{,}8$ horas.

Palavras finais

Você deve ter observado que, além de importante, a regra de três é fácil, basta estar atento a quando multiplicar em cruz ou em linha.

Para fixar esse assunto, resolva os exercícios sobre regra de três. Bons estudos.

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