Potências (resumo nível médio)

Fonte: imagem gerada com IA no DALL·E.

A representação de números através de potências (ou expoentes) é frequentemente utilizada na física. Por isso, vamos relembrar a como trabalhar com potências nesse resumo de nivel médio.

Definição

Elevar um número $x$ a um número inteiro $n$ é multiplicá-lo por ele mesmo $n$ vezes. Matematicamente isso é representado por $x^n$.

\begin{equation} x^n = \underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{n \ \txt{vezes}} \end{equation}

Exemplo 1

Vamos calcular $2$ elevado a $4$:

\begin{align*} 2^4 &= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\ &= 16 \pt \end{align*}

Exemplo 2

Neste exemplo, vamos calcular $3$ elevado a $1$:

\begin{equation*} 3^1 = 3 \pt \end{equation*}

Exemplo 3

Vamos calcular $10^3$:

\begin{align*} 10^3 &= 10 \times 10 \times 10 \\ &= 1{.}000 \pt \end{align*}

Exemplo 4

Vamos calcular $(-1)^3$:

\begin{align*} (-1)^3 &= (-1) \times (-1) \times (-1) \\ &= -1 \pt \end{align*}

Exemplo 5

Vamos calcular $(-2)^2$:

\begin{align*} (-2)^2 &= (-2) \times (-2) \\ &= 4 \pt \end{align*}

Exemplo 6

Neste exemplo, vamos calcular $-2^2$:

\begin{align*} -2^2 &= - (2 \times 2) \\ &= -4 \pt \end{align*}

Ao compararmos o Exemplo 5 com o Exemplo 6, concluímos que há um detalhe importante: $-2^2$ é diferente de $(-2)^2$ pois em $-2^2$ o sinal negativo não faz parte da potência.

Nomenclatura

O número multiplicado é chamado de base, já o valor ao qual a base está elevada é chamado de expoente.

\begin{equation} { \underset{\txt{base}}{x} }^{ \overset{\txt{expoente}}{n} } \end{equation}

Se o expoente for $2$, dizemos que o número da base está elevado à segunda potência (ou ao quadrado); se o expoente for $3$, o número da base está elevado à terceira potência (ou ao cubo); se o expoente for $4$, o número da base está elevado à quarta potência; e assim por diante.

Expoente nulo

Por definição, se o expoente for $0$ o resultado é sempre $1$.

Exemplo 7

O resultado de $3^0$ é $1$.

$$ 3^0 = 1 $$

Exemplo 8

O resultado de $21^0$ é $1$.

$$ 21^0 = 1 $$

Expoente negativo

Se o expoente for negativo, podemos torná-lo positivo ao invertermos o valor da base.

Exemplo 9

Vamos calcular $8^{-1}$:

\begin{equation*} \begin{split} 8^{-1} &= \frac{1}{8^1} \\ &= \frac{1}{8} \pt \end{split} \end{equation*}

Exemplo 10

Agora, vamos calcular $2^{-4}$:

\begin{equation*} \begin{split} 2^{-4} &= \frac{1}{2^4} \\ &= \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 } \\ &= \frac{1}{16} \pt \end{split} \end{equation*}

Exemplo 11

Neste exemplo, vamos calcular o inverso de $10^{-3}$:

\begin{equation*} \begin{split} \frac{1}{10^{-3}} &= 10^3 \\ &= 10 \cdot 10 \cdot 10 \\ &= 1{.}000 \pt \end{split} \end{equation*}

Expoente fracionário (raiz)

Números que têm fração como expoente podem ser irracionais e, portanto, mais difíceis de serem calculados.

Exemplo 12

Neste exemplo, veja o resultado conhecido de $2^{1/2}$:

$$ 2^\frac{1}{2} = 1{,}414 \!\ldots \pt $$

Outra forma de representá-los é através do símbolo $\sqrt{ \ { } \ }$, chamado de radical. Assim, um número $x$ com expoente fracionário igual a $n/d$ pode ser escrito como:

\begin{equation} x^\frac{n}{d} = \sqrt[ d ]{x^n } \vg \end{equation}

e a potência $n$ pode ser retirada de dentro do radical sempre que for desejável,

\begin{equation} \sqrt[ d ]{x^n } = \sqrt[ d ]{x }^{n} = (\sqrt[ d ]{x })^n \pt \end{equation}

Ainda, podemos ocultar $d$ quando ele for igual a $2$, tal operação é conhecida como raiz quadrada:

\begin{equation} \sqrt[ 2 ]{x^n } = \sqrt{x^n } \pt \end{equation}

Exemplo 13

Vamos calcular $3^{1/2}$:

\begin{align*} 3^\frac{1}{2} &= \sqrt[2]{3^1} \\ &= \sqrt{3} \pt \end{align*}

Exemplo 14

Vamos calcular $7^{5/2}$:

\begin{align*} 7^\frac{5}{2} &= \sqrt[2]{7^5} \\ &= \sqrt{7^5} \pt \end{align*}

Exemplo 15

Vamos calcular $2^{1/3}$:

\begin{align*} 2^\frac{1}{3} &= \sqrt[3]{2^1} \\ &=\sqrt[3]{2} \pt \end{align*}

Exemplo 16

Vamos calcular $5^{3/4}$:

\begin{equation*} 5^\frac{3}{4} = \sqrt[4]{5^3} \pt \end{equation*}

Potência de potência

Se um número com expoente estiver elevado a um outro expoente, podemos multiplicar os expoentes entre si.

Exemplo 17

Neste exemplo, vamos calcular $5^3$ elevado ao quadrado:

\begin{align*} (5^3)^2 &= 5^{3 \cdot 2} \\ &= 5^6 \pt \end{align*}

Exemplo 18

Neste exemplo, vamos calcular $(2^7)^{-3}$:

\begin{align*} (2^7)^{-3} &= 2^{7 \cdot (-3)} \\ &= 2^{-21} \pt \end{align*}

Exemplo 19

Vamos calcular $(8^4)^{1/5}$:

\begin{align*} (8^4)^\frac{1}{5} &= 8^{4 \cdot \frac{1}{5}} \\ &= 8^{\frac{4}{5}} \\ &= \sqrt[5]{8^4} \pt \end{align*}

Multiplicação e divisão de potências

Na multiplicação ou divisão entre potências, sempre que os expoentes forem iguais podemos operar as bases e elevar o resultado a um único expoente.

Exemplo 20

Neste exemplo, veja como multiplicar $4$ ao quadrado por $5$ ao quadrado:

\begin{align*} 4^2 \cdot 5^2 &= (4 \cdot 5)^2 \\ &= 20^2 \\ &= 400 \pt \end{align*}

Exemplo 21

Aqui, vamos obter uma forma alternativa de se representar o número $40^3$:

\begin{align*} 40^3 &= (4 \cdot 10)^3 \\ &= 4^3 \cdot 10^3 \pt \end{align*}

Se as bases forem iguais, podemos manter a base e somar ou subtrair seus expoentes.

Exemplo 22

Vamos multiplicar $3^2$ por $3^4$:

\begin{align*} 3^2 \cdot 3^4 &= 3^{2+4} \\ &= 3^6 \pt \end{align*}

Exemplo 23

Vamos multiplicar $8^{-3}$ por $8^2$:

\begin{align*} 8^{-3} \cdot 8^2 &= 8^{-3+2} \\ &= 8^{-1} \pt \end{align*}

Exemplo 24

Vamos dividir $6^5$ por $6^2$:

\begin{align*} \frac{6^5}{6^2} &= 6^5 \cdot 6^{-2} \\ &= 6^{5-2} \\ &= 6^3 \pt \end{align*}

Exemplo 25

Vamos dividir $10^3$ por $10^{-6}$:

\begin{align*} \frac{10^3}{10^{-6}} &= 10^3 \cdot 10^6 \\ &= 10^{3+6} \\ &= 10^9 \pt \end{align*}

Já se as bases e os expoentes forem diferentes, não há muito o que se fazer a não ser orar calcular os valores de cada potência para então prosseguir com as operações.

Palavras finais

Fique tranquilo, esse conteúdo se torna natural à medida que você o utiliza. Tenha em mente que é sempre bom resolver alguns exercícios de potenciação para dominar o assunto. Bons estudos.

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