ENEM 2017 - Questão resolvida #12

(ENEM 2017) No manual fornecido pelo fabricante de uma ducha elétrica de $220 \ \mathrm{V}$ é apresentado um gráfico com a variação da temperatura da água em função da vazão para três condições (morno, quente e superquente). Na condição superquente, a potência dissipada é de $6\,500 \ \mathrm{W}$. Considere o calor específico da água igual a $4\,200 \ \left. \mathrm{J} \middle/ (\mathrm{kg}\,\gr\mathrm{C}) \right.$ e a densidade da água igual a $1 \ \left. \mathrm{kg} \middle/ \mathrm{L} \right.$.

Com base nas informações dadas, a potência na condição morno corresponde a que fração da potência na condição superquente?

a) $\frac{1}{3}$ b) $\frac{1}{5}$ c) $\frac{3}{5}$ d) $\frac{3}{8}$ e) $\frac{5}{8}$

A dificuldade neste problema está em evidenciar a vazão da água (volume por tempo). Para isso, vamos partir da expressão da potência $P$ e assumir que a energia elétrica $E$ é totalmente transferida para a água, variando sua energia interna $E_\text{i}$ num intervalo de tempo $\Delta t$.

\begin{equation} P = \frac{E}{\Delta t} = \frac{\Delta E_{\text{i}}}{\Delta t} \end{equation}

Da Primeira Lei da Termodinâmica, uma vez que não houve realização de trabalho, a variação da energia interna da água é equivalente à quantidade de calor $Q=mc\Delta T$, então:

\begin{equation} P=\frac{Q}{\Delta t}=\frac{m c \Delta T}{\Delta t} \vg \end{equation}

onde $m$ é a massa, $c$ é o calor específico e $\Delta T$ é a variação de temperatura.

Ainda, a massa da água pode ser reescrita como sendo o produto de seu volume $V$ por sua densidade $d$, então:

\begin{equation} \begin{split} P &= \frac{V d c \Delta T}{\Delta t} \\ &= \frac{V}{\Delta t} d c \Delta T \pt \end{split} \end{equation}

A vazão aparece aqui, Equação (3), na divisão do volume pelo intervalo tempo, e a representaremos por $v$. Com isso, a potência fica finalmente expressa na seguinte forma:

\begin{equation} P = v d c \Delta T \pt \end{equation}

Agora, podemos escrever as expressões para as potências na condição 1 (morno) e na condição 3 (superquente), isto é,

\begin{equation} P_{1}= v_{1} d c \Delta T_{1} \end{equation}

e

\begin{equation} P_{3}= v_{3} d c \Delta T_{3} \pt \end{equation}

Donde, dividindo a Equação (5) pela Equação (6), chegamos à seguinte relação:

\begin{equation} \begin{split} \require{cancel} \frac{P_{1}}{P_{3}} & = \frac{v_{1} \cancel{d} \bcancel{c} \Delta T_{1}}{v_{3} \cancel{d} \bcancel{c} \Delta T_{3}} \\ & = \frac{v_{1} \Delta T_{1}}{v_{3} \Delta T_{3}} \pt \end{split} \end{equation}

Com base no gráfico do enunciado, vamos, por exemplo, escolher a vazão de $3 \ \left. \mathrm{L} \middle/ \mathrm{min} \right.$ e substituir a elevação de temperatura nas condições 1 e 3:

\begin{equation} \frac{P_{1}}{P_{3}} = \frac{3 \cdot 12}{3 \cdot 32} = \frac{3}{8} \vg \end{equation}

ou seja,

\begin{equation} P_{1} = \frac{3}{8} P_{3} \pt \end{equation}

Resposta: d.

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