Enem 2020 - Questão resolvida #19

(Enem 2020) As moedas despertam o interesse de colecionadores, numismatas e investidores há bastante tempo. Uma moeda de 100% cobre, circulante no período do Brasil Colônia, pode ser bastante valiosa. O elevado valor gera a necessidade de realização de testes que validem a procedência da moeda, bem como a veracidade de sua composição. Sabendo que a densidade do cobre metálico é próxima de 9 g cm^-3, um investidor negocia a aquisição de um lote de quatro moedas A, B, C e D fabricadas supostamente de 100% cobre e massas 26 g, 27 g, 10 g e 36 g, respectivamente. Com o objetivo de testar a densidade das moedas, foi realizado um procedimento em que elas foram sequencialmente inseridas em uma proveta contendo 5 mL de água, conforme esquematizado.

Com base nos dados obtidos, o investidor adquiriu as moedas

a) A e B. b) A e C. c) B e C. d) B e D. e) C e D.

Para garantir que uma determinada moeda seja de cobre, sua densidade deve ser igual à densidade do cobre. A densidade $d$ de cada moeda pode ser calculada através da razão entre sua massa $m$ e seu volume $V$,

$$\begin{equation} d = \frac{m}{V} \text{.} \end{equation}$$

As massas das moedas são dadas pelo enunciado. Precisamos, então, descobrir seus volumes para então determinarmos suas densidades. Faremos isso através do procedimento da proveta apresentado no enunciado.

Lembre-se que, ao imergir um objeto em um líquido, o volume $\Delta V$ de líquido deslocado é igual ao volume do objeto mergulhado. Inicialmente, a proveta possui $V_\text{i} = 5 \ \text{mL}$ de água. Ao mergulhar a moeda A, o nível de água sobe para $V_\text{f} = 7 \ \text{mL}$, então:

$$\begin{equation} \begin{split} \Delta V_\text{A} &= V_\text{f}-V_\text{i} \\ &= 7-5\\ &= 2 \ \text{mL} \\ &= V_\text{A} \text{.} \end{split} \end{equation}$$

Seguindo o mesmo raciocínio, antes de inserir a moeda B, o nível da proveta marcava $V_\text{i} = 7 \ \text{mL}$ e, após a inserção da moeda B, $V_\text{f} = 10 \ \text{mL}$. Com isso,

$$\begin{equation} \begin{split} \Delta V_\text{B} &= V_\text{f}-V_\text{i} \\ &= 10-7\\ &= 3 \ \text{mL} \\ &= V_\text{B} \text{.} \end{split} \end{equation}$$

Mais uma vez, antes de inserir a moeda C, o nível da proveta marcava $V_\text{i} = 10 \ \text{mL}$ e, após sua imersão, $V_\text{f} = 12 \ \text{mL}$:

$$\begin{equation} \begin{split} \Delta V_\text{C} &= 12-10\\ &= 2 \ \text{mL} \\ &= V_\text{C} \text{.} \end{split} \end{equation}$$

E por fim, antes de mergulhar a moeda D, o nível da proveta marcava $V_\text{i} = 12 \ \text{mL}$ e, após sua inserção, $V_\text{f} = 12 \ \text{mL}$:

$$\begin{equation} \begin{split} \Delta V_\text{D} &= 16-12\\ &= 4 \ \text{mL} \\ &= V_\text{D} \text{.} \end{split} \end{equation}$$

Agora, através da Equação (1) podemos calcular a densidade $d_\text{A}$ da moeda A de massa $m_\text{A}=26 \ \text{g}$:

$$\begin{equation} \begin{split} d_\text{A} &= \frac{m_\text{A}}{V_\text{A}}\\ &= \frac{26}{2} \\ &= 13 \ \text{g/mL} \\ &= 13 \ \text{g/cm}^{-3} \text{.} \end{split} \end{equation}$$

Analogamente, a densidade $d_\text{B}$ da moeda B de massa $m_\text{B}=27 \ \text{g}$ é:

$$\begin{equation} \begin{split} d_\text{B} &= \frac{m_\text{B}}{V_\text{B}}\\ &= \frac{27}{3} \\ &= 9 \ \text{g/cm}^{-3} \text{.} \end{split} \end{equation}$$

E da mesma forma, a densidade $d_\text{C}$ da moeda C de massa $m_\text{C}=10 \ \text{g}$ é:

$$\begin{equation} \begin{split} d_\text{C} &= \frac{10}{2} \\ &= 5 \ \text{g/cm}^{-3} \text{.} \end{split} \end{equation}$$

Finalmente, a densidade $d_\text{D}$ da moeda D de massa $m_\text{D}=36 \ \text{g}$ é:

$$\begin{equation} \begin{split} d_\text{D} &= \frac{36}{4} \\ &= 9 \ \text{g/cm}^{-3} \text{.} \end{split} \end{equation}$$

As moedas B e D possuem densidade igual à do cobre metálico,

$$\begin{equation} d_\text{B} = d_\text{D} = 9 \ \text{g/cm}^{-3} \text{,} \end{equation}$$

portanto, possivelmente foram fabricadas de 100% cobre.

Resposta: d.

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