Enem 2020 - Questão resolvida #07

(Enem 2020) A Torre Eiffel, com seus 324 metros de altura, feita com treliças de ferro, pesava 7 300 toneladas quando terminou de ser construída em 1889. Um arquiteto resolve construir um protótipo dessa torre em escala 1:100, usando os mesmos materiais (cada dimensão linear em escala de 1:100 do monumento real). Considere que a torre real tenha uma massa M_torre e exerça na fundação sobre a qual foi erguida uma pressão P_torre. O modelo construído pelo arquiteto terá uma massa M_modelo e exercerá uma pressão P_modelo.

Como a pressão exercida pela torre se compara com a pressão exercida pelo protótipo? Ou seja, qual é a razão entre as pressões (P_torre)/(P_modelo) ?

a) 10⁰ b) 10¹ c) 10² d) 10⁴ e) 10⁶

Para um corpo de massa $m$, densidade $\rho$ e volume total $V$, a pressão $P$ exercida em uma área $A$ é a razão da força peso, $F=mg$, pela área onde esta força está sendo aplicada:

\begin{equation} \begin{split} P &= \frac{mg}{A} \\ &= \frac{\rho V g}{A} \text{.} \end{split} \end{equation}

No caso da torre original,

\begin{equation} P_\text{t} = \frac{ \rho V_\text{t} }{A_\text{t}} g \text{.} \end{equation}

Já para a miniatura,

\begin{equation} P_\text{m} = \frac{ \rho V_\text{m} }{A_\text{m}} g \text{.} \end{equation}

A razão entre (2) e (3) nos dá a seguinte relação:

\begin{equation} \frac{P_\text{t}}{P_\text{m}} = \frac{ \frac{ \rho V_\text{t} }{A_\text{t}} g }{ \frac{ \rho V_\text{m} }{A_\text{m}} g } \text{,} \end{equation}

ou seja,

\begin{equation} \frac{P_\text{t}}{P_\text{m}} = \frac{ V_\text{t} }{ A_\text{t} } \frac{A_\text{m} }{ V_\text{m} } \text{.} \end{equation}

A escala de dimensão linear entre o modelo e a torre é de 1 para 100. Precisamos ter um pouco de cuidado pois á área possui dimensão quadrática e o volume cúbica.

Para ficar mais claro, sejam $a$ e $b$ supostos lados da área $A$ onde a força é aplicada, então:

\begin{equation} \begin{split} A_\text{t} &= a_\text{t} \times b_\text{t} \\ &= 100 \, a_\text{m} \times 100 \, b_\text{m} \\ &= 10^4 \, (a_\text{m} \times b_\text{m}) \\ &= 10^4 \, A_\text{m} \text{.} \end{split} \end{equation}

Analogamente para o volume, sejam $d$ e $l$ e $h$ supostos lados do volume total $V$, então:

\begin{equation} \begin{split} V_\text{t} &= d_\text{t} \times l_\text{t} \times h_\text{t} \\ &= 10^6 \, (d_\text{m} \times l_\text{m} \times h_\text{m}) \\ &= 10^6 \, V_\text{m} \text{.} \end{split} \end{equation}

Por fim, vamos substituir os resultados (6) e (7) na expressão (5) para chegarmos à resposta

\begin{equation} \begin{split} \frac{P_\text{t}}{P_\text{m}} &= \frac{ V_\text{t} }{ A_\text{t} } \frac{A_\text{m} }{ V_\text{m} } \\ &= \frac{ 10^6 \, V_\text{m} }{ 10^4 \, A_\text{m} } \frac{A_\text{m} }{ V_\text{m} } \\ &= \frac{ 10^6 }{ 10^4 } \\ &= 10^{2} \text{.} \end{split} \end{equation}

Resposta: c.

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