Fuvest 2017 - 1ª Fase - Questão resolvida #08

(Fuvest 2017) Reatores nucleares não são exclusivamente criações humanas. No período pré-cambriano, funcionou na região de Oklo, África, durante centenas de milhares de anos, um reator nuclear natural, tendo como combustível um isótopo do urânio.
Para que tal reator nuclear natural pudesse funcionar, seria necessário que a razão entre a quantidade do isótopo físsil ($^{235}\text{U}$) e a do urânio $^{238}\text{U}$ fosse cerca de 3%. Esse é o enriquecimento utilizado na maioria dos reatores nucleares, refrigerados a água, desenvolvidos pelo homem.
O $^{235}\text{U}$ decai mais rapidamente que o $^{238}\text{U}$; na Terra, atualmente, a fração do isótopo $^{235}\text{U}$, em relação ao $^{238}\text{U}$, é cerca de 0,7%. Com base nessas informações e nos dados fornecidos, pode-se estimar que o reator natural tenha estado em operação há

a) 1,2 × 10⁷ anos. b) 1,6 × 10⁸ anos. c) 2,0 × 10⁹ anos. d) 2,4 × 10¹⁰ anos. e) 2,8 × 10¹¹ anos.

Note e adote:
$M(t)=M(0) \, 10 ^{-\lambda t}$; $M(t)$ é a massa de um isótopo radioativo no instante $t$.
$\lambda$ descreve a probabilidade de desintegração por unidade de tempo.
Para o $^{238}\text{U}$, $\lambda_{238} \approx 0,8 \times 10^{-10} \ \text{ano}^{-1}$.
Para o $^{235}\text{U}$, $\lambda_{235} \approx 4,0 \times 10^{-10} \ \text{ano}^{-1}$.
$\log_{10}(0,23) \approx -0,64$.

Segundo o enunciado, inicialmente $t=0$,) para o reator funcionar, é necessário que a razão entre a massa do isótopo e a do urânio seja de 3%.

\begin{equation} \label{eq:1} \frac{M_{\textrm{235}}(0)}{M_{\textrm{238}}(0)} = 0,03 \end{equation}

E, atualmente, essa razão é de 0,7%.

\begin{equation} \label{eq:2} \frac{M_{\textrm{235}}(t_{\textrm{a}})}{M_{\textrm{238}}(t_{\textrm{a}})} = 0,007 \end{equation}

Agora vamos utilizar a equação fornecida pelo enunciado para os dois elementos:

\begin{equation} \label{eq:3} M_{\textrm{235}}(t_{\textrm{a}}) = M_{\textrm{235}}(0) \cdot 10^{-4 \cdot 10^{-10} t} \text{,} \end{equation}

e

\begin{equation} \label{eq:4} M_{\textrm{238}}(t_{\textrm{a}}) = M_{\textrm{238}}(0) \cdot 10^{-0,8 \cdot 10^{-10} t} \text{.} \end{equation}

Dividindo a Equação \eqref{eq:3} pela \eqref{eq:4}:

\begin{equation} \label{eq:5} \frac{M_{\textrm{235}}(t_{\textrm{a}})}{M_{\textrm{238}}(t_{\textrm{a}})} = \frac{M_{\textrm{235}}(0)}{ M_{\textrm{238}}(0)} \frac{10^{-4 \cdot 10^{-10} t}}{10^{-0,8 \cdot 10^{-10} t}} \text{.} \end{equation}

Agora, vamos substituir os valores das razões \eqref{eq:1} e \eqref{eq:2}, efetuar a divisão das potências de base 10 e rearranjar a igualdade:

\begin{equation} \begin{split} \label{eq:6} 0,007 &= 0,03 \cdot 10^{-(4 - 0,8) \cdot 10^{-10} t } \\ \frac{0,007}{0,03} &= 10^{-(3,2) \cdot 10^{-10} t } \\ 0,233 &= 10^{-3,2 \cdot 10^{-10} t } \text{.} \end{split} \end{equation}

Por fim, basta isolarmos a variável $t$ aplicando o logaritmo em ambos os lados do resultado acima:

\begin{equation} \begin{split} \log_{10}(0,233) &= \log_{10}(10^{-3,2 \cdot 10^{-10} t }) \\ -0,64 &= -3,2 \cdot 10^{-10} t \text{,} \end{split} \end{equation}

ou seja,

\begin{equation} \begin{split} t &= \frac{0,64}{3,2} \cdot 10^{10} \\ &= 2 \cdot 10^{9} \textrm{ anos} \text{.} \end{split} \end{equation}

Resposta: c.

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